Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，则方程f[f（x）]=2实数根的个数是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由方程f[f（x）]=2先求出f（x）=1或f（x）=$\frac{5}{4}$或f（x）=5，再解方程即可．

解答 解：①当f（x）≤1时，
f[f（x）]=$\frac{{2}^{f（x）}+2}{2}$=2，
解得，f（x）=1，
∴$\frac{{2}^{x}+2}{2}$=1或|log₂（x-1）|=1，
∴x-1=$\frac{1}{2}$或x-1=2，
故x=$\frac{3}{2}$或x=3；
②若f（x）＞1，则f[f（x）]=|log₂（f（x）-1）|=2，
∴f（x）-1=$\frac{1}{4}$或f（x）-1=4，
∴f（x）=$\frac{5}{4}$或f（x）=5，
若f（x）=$\frac{5}{4}$，则$\frac{{2}^{x}+2}{2}$=$\frac{5}{4}$或|log₂（x-1）|=$\frac{5}{4}$，
则x=-1或x=1+${2}^{-\frac{5}{4}}$或x=1+${2}^{\frac{5}{4}}$；
若f（x）=5，则$\frac{{2}^{x}+2}{2}$=5或|log₂（x-1）|=5，
则x=3（舍去）或x=1+2^-5或x=1+2⁵，
综上所述，方程f[f（x）]=2实数根的个数是7，
故选C．

点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用．