题目内容
【题目】已知棱长为2的正方体
中，E为DC中点，F在线段
上运动，则三棱锥
的外接球的表面积最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
取
的中点
，易知为
的外心，取
的中点
，连接
，取的中点
，连接
，由正方体的性质可得三棱锥
的外接球球心
在直线上，连接
，取
的中点
，连接
、
，易知当
即点
与重合时，即外接球半径最小，设
，根据
求得
，进而可求得外接球半径，即可得解.
取的中点，易知为的外心，取的中点，连接，取的中点，连接，
由正方体的性质可得
平面
，
则三棱锥的外接球球心在直线上，连接，
取的中点，连接、，
由中位线的性质可得
且
，
所以
，所以
平面
，
，
若要使三棱锥的外接球的表面积最小，则要使其半径即最小，
易知当即点与重合时，最小，
设，由题意
，
，
则
，
，
由可得
，化简可得，
此时，三棱锥的外接球的半径
满足
，
所以三棱锥的外接球的表面积最小值
.
故选：C.
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