题目内容
【题目】已知棱长为2的正方体中,E为DC中点,F在线段
上运动,则三棱锥
的外接球的表面积最小值为( )
A.B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
取的中点
,易知
为
的外心,取
的中点
,连接
,取
的中点
,连接
,由正方体的性质可得三棱锥
的外接球球心
在直线
上,连接
,取
的中点
,连接
、
,易知当
即点
与
重合时,
即外接球半径最小,设
,根据
求得
,进而可求得外接球半径,即可得解.
取的中点
,易知
为
的外心,取
的中点
,连接
,取
的中点
,连接
,
由正方体的性质可得平面
,
则三棱锥的外接球球心
在直线
上,连接
,
取的中点
,连接
、
,
由中位线的性质可得且
,
所以,所以
平面
,
,
若要使三棱锥的外接球的表面积最小,则要使其半径即
最小,
易知当即点
与
重合时,
最小,
设,由题意
,
,
则,
,
由可得
,化简可得
,
此时,三棱锥的外接球的半径
满足
,
所以三棱锥的外接球的表面积最小值
.
故选:C.
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