题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,经过点
且斜率为
的直线
与椭圆
有两个不同的交点
和
.
(1)求的取值范围;
(2)设椭圆与轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
,是否存在常数
,使得向量
与
共线?如果存在,求
值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)没有
【解析】解:(1)由已知条件知直线l的方程为
y=kx+,
代入椭圆方程得+(kx+
)2=1.
整理得x2+2
kx+1=0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,
解得k<-或k>
,
即k的取值范围为∪
.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则+
=(x1+x2,y1+y2),
由方程①得x1+x2=-.②
又y1+y2=k(x1+x2)+2=
,③
而A(,0),B(0,1),
=(-
,1),
所以+
与
共线等价于x1+x2=-
(y1+y2).
将②③代入上式,解得k=.
由(1)知k<-或k>
,故没有符合题意的常数k.
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