Question

20．在成都七中学生节活动中，高一某班设计了这样一个游戏：已知∠A=α，线段BC的长度为定值m，将点B放在射线AP上，点C放在射线AQ上，当△ABC面积较大时即获胜．
（1）某同学将线段BC放定后，求$\frac{sin∠ABC+sin∠ACB}{AB+AC}$的值；
（2）若α=$\frac{π}{6}$，当∠ABC的值为多少时，△ABC面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理以及比例的性质解答；
（2）利用正弦定理，将三角形的面积表示为关于∠ABC的三角函数，利用积化和差公式得到最值．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得到$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sin∠A}$，
所以$\frac{sin∠ABC+sin∠ACB}{AB+AC}=\frac{sinα}{m}$；
（2）α=$\frac{π}{6}$，设∠ABC=β，则$\frac{m}{sin\frac{π}{6}}=\frac{AB}{sin（\frac{5π}{6}-β）}$，所以AB=2msin（$\frac{5π}{6}-β$），
所以，△ABC面积为$\frac{1}{2}AB×BC×sin∠ABC$=m²sin（$\frac{5π}{6}-β$）sinβ=$\frac{1}{2}$m²[cos（$\frac{5π}{6}-2β$）-cos$\frac{5π}{6}$]=$\frac{1}{2}$m²[cos[（$\frac{5π}{6}-2β$）+$\frac{1}{2}$]，$β∈（0，\frac{5π}{6}）$，
所以$\frac{5π}{6}-2β$∈（$-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}$），所以当$β=\frac{5π}{12}$即∠ABC为$\frac{5π}{12}$时，△ABC面积的面积最大为$\frac{3}{4}{m}^{2}$．

点评 本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用正弦定理将所求转化为∠ABC的三角函数形式．