题目内容
【题目】已知函数,点
在曲线
上,且曲线在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求,
的值;
(2)如果当时,都有
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)求出导数,求得切线的斜率和切点,由切线与2x﹣y=0垂直,可得a,b的方程,解方程可得a,b的值;
(2)由题意可得,即有即
,可令g(x)=
,求出导数,判断单调性,可得最值,即可得到k的范围.
试题解析:(1),
依题意,
,解得
.
(2)由(1)可知,代入
得
,即
,
因为当时,
,
时,
,所以
,
所以,即
,
令,设
,则
,
又.
①当,即
时,
恒成立,
所以在
上单调递增,所以
(i)当时,
,又因为此时
,
,
所以,即
成立;
(ii)当时,
,又因为此时
,
,
所以,即
成立.
因此当时,当
时,都有
成立,符合题意.
②当,即
时,由
,得
,
,
因为,所以
,
,
当时,
,所以
在
上递减,所以
,
又因为此时,
,所以
,即
与
矛盾,所以不符合题意.
综上可知:的取值范围是
.
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