题目内容
【题目】如图,在多面体中,四边形
为矩形,
,
均为等边三角形,
,
.
(1)过作截面与线段
交于点
,使得
平面
,试确定点
的位置,并予以证明;
(2)在(1)的条件下,求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)当为线段
的中点时,使得
平面
.(2)
【解析】
试题分析:(1) 当为线段
的中点时,
平面
.连结AC交BD于M,连结MN.利用中位线定理即可证明
,于是
平面
.
(2)通过线面关系证得
,
.分别以
,
,
的方向为
,
,
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,用向量法求解即可.
试题解析:(1)当为线段
的中点时,使得
平面
.
证法如下:
连接,
,设
,
∵四边形为矩形,
∴为
的中点,
又∵为
的中点,
∴为
的中位线,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
,故
为
的中点时,使得
平面
.
(2)过作
分别与
,
交于
,
,
因为为
的中点,所以
,
分别为
,
的中点,
∵与
均为等边三角形,且
,
∴,连接
,
,则得
,
∵,
,
,
∴,
,
∴四边形为等腰梯形.
取的中点
,连接
,则
,
又∵,
,
,
∴平面
,
过点作
于
,则
,
∴
,
.
分别以,
,
的方向为
,
,
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,不妨设
,则由条件可得:
,
,
,
,
,
.
设是平面
的法向量,
则即
所以可取,
由,可得
,
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
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