题目内容
【题目】已知椭圆的右顶点为
,
为上顶点,点
为椭圆
上一动点.
(1)若,求直线
与
轴的交点坐标;
(2)设为椭圆
的右焦点,过点
与
轴垂直的直线为
,
的中点为
,过点
作直线
的垂线,垂足为
,求证:直线
与直线
的交点在椭圆
上.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)直接求出直线方程,与椭圆方程联立求出
点坐标,从而可得直线
方程,得其与
轴交点坐标;
(2)设,则
,求出直线
和
的方程,从而求得两直线的交点坐标,证明此交点在椭圆上,即此点坐标适合椭圆方程.代入验证即可.注意分
和
说明.
解:本题考查直线与椭圆的位置关系的综合,
(1)由题知,
,则
.因为
,所以
,
则直线的方程为
,联立
,可得
故.则
,直线
的方程为
.令
,
得,故直线
与
轴的交点坐标为
.
(2)证明:因为,
,所以
.设点
,则
.
设
当时,设
,则
,此时直线
与
轴垂直,
其直线方程为,
直线的方程为
,即
.
在方程中,令
,得
,得交点为
,显然在椭圆
上.
同理当时,交点也在椭圆
上.
当时,可设直线
的方程为
,即
.
直线的方程为
,联立方程
,
消去得
,化简并解得
.
将代入
中,化简得
.
所以两直线的交点为.
因为
,
又因为,所以
,
则,
所以点在椭圆
上.
综上所述,直线与直线
的交点在椭圆
上.
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