Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知${a_1}=1，{S_n}=n{a_n}-2n（n-1）（n∈{N^*}）$．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出其通项公式；
（2）若${S_1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_m}{m}=400$，求正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系：n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理由等差数列的定义和通项公式，即可得到；
（2）运用等差数列的求和公式可得S_n=n（2n-1），再化简所给等式，由等差数列的求和公式，解方程可得m=20．

解答 解：（1）证明：当n≥2时，S_n=na_n-2n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2），
两式相减可得，a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），
则（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+4（n-1），
∴a_n=a_n-1+4，
∴{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，∴a_n=4n-3；
（2）S_n=$\frac{1}{2}$n（4n-2）=n（2n-1），
若${S_1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_m}{m}=400$，即为1+3+5+7+…+（2m-1）=400，
即有$\frac{1}{2}$m（1+2m-1）=400，即m²=400，
解得m=20．

点评 本题考查等差数列的定义、通项和求和公式的运用，注意运用数列的通项和前n项和的关系：当n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，是解题的关键．