题目内容

已知离心率为
3
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
（1）设椭圆C的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
由题意得：
c
a
=
3
2
①
a2=b2+c2②
4
a2
+
1
b2
=1③
，
把①代入②得：a2=4b2④．
联立③④得：a2=8，b2=2．
∴椭圆方程为
x2
8
+
y2
2
=1．
（2）证明：∵M（2，1），∴kOM=
1
2

又∵直线l∥OM，可设l：y=
1
2
x+m，将式子代入椭圆C得：x2+4(
1
2
x+m)2-8=0，
整理得：x2+2mx+2m2-4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则k1=
y1-1
x1-2
，k2=
y2-1
x2-2
．
下面只需证明：k1+k2=0，
事实上，k1+k2=
1
2
x1+m-1
x1-2
+
1
2
x2+m-1
x2-2

=
1
2
(x1-2)+m
x1-2
+
1
2
(x2-2)+m
x2-2

=1+m(
1
x1-2
+
1
x2-2
)
=1+m•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•
-2m-4
2m2-4-2(-2m)+4

=1-
2m2+4m
2m2+4m

=0．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为
3
2
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1；
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点，当点B是椭圆C的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积．
（Ⅲ）设点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．
如图所示的曲线C是由部分抛物线C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C1相切于点M，与曲线C2相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=
2
时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．
已知点B（0，1），A，C为椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（1）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？
（2）当a=2时，求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为
2
2
，以线段F1F2为直径的圆的面积为π，设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围；
（3）求△ABF1面积的取值范围．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
2
，0)，(
2
，0)，离心率是
6
3
，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
2
3
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网