题目内容

已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
（Ⅰ）∵椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0），
∴
c
a
=
6
3
c=2
2
，解得a=2
3
，
∴b=
12-8
=2，
∴椭圆G的方程为
x2
12
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）设l：y=x+b，
代入
x2
12
+
y2
4
=1，得4x2+6bx+3b2-12=0，
根据韦达定理xA+xB=-
3b
2
，xA•xB=
3b2-12
4
，
∴yA+yB=
b
2
，
设M为AB的中点，则M（-
3b
4
，
b
4
），AB的中垂线的斜率k=-1，
∴AB的中垂线：x+y+
b
2
=0，将P（-3，2）代入，得b=2，
∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3
2
，d=
3
2
，
∴S△PAB=
1
2
×3
2
×
3
2
=
9
2
．
练习册系列答案
相关题目
若AB为抛物线y2=2px（p＞0）的动弦，且|AB|=a（a＞2p），则AB的中点M到y轴的最近距离是（　　）
A．
a
2
B．
p
2
C．
a+p
2
D．
a-p
2
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（　　）
A．1B．2C．3D．4
已知离心率为
3
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
如图，已知点P（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y2=2px（p＞0）上，PA，PB与x轴分别交于C，D两点，且PC=PD，则y1+y2的值为…（　　）
A．-2aB．2bC．2pD．-2b
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
3
2
，且过点（
3
，
1
2
）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．
已知两点M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P满足由|
MN
|•|
MP
|+
MN
•
MP
=0
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）是否存在实数m使直线x+my-4=0（m∈R）与曲线C交于A、B两点，且OA⊥OB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．

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