题目内容
【题目】从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段,垂足为Q,点M是线段上的一点,且满足
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线与轨迹c交于两点,T为C上异于的任意一点,直线,分别与直线交于两点,以为直径的圆是否过x轴上的定点?若过定点,求出符合条件的定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
(1)利用相关点法,设设,,则点的坐标为,由,从而得到,即.化简求得结果;
(2)设出点A,B的坐标,将直线与曲线的方程联立,消元得到,根据韦达定理得到 =, =,设点,写出直线AT的方程,进而求得点D的坐标,同理求得点E的坐标,如果以为直径的圆过轴某一定点,则满足,利用向量数量积坐标公式求得结果.
(1)设,,则点的坐标为.
因为,
所以,
即 ,
因为点在抛物线上,
所以,即.
所以点的轨迹的方程为.
(2)解法1:设直线与曲线的交点坐标为 ,,
由得.
由韦达定理得 =, =.
设点,则.
所以直线的方程为.
令,得点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
如果以为直径的圆过轴某一定点,则满足.
因为 .
所以.
即,解得或.
故以为直径的圆过轴上的定点和.
解法2:直线与曲线的交点坐标为,,
若取,则,与直线的交点坐标为,,
所以以为直径的圆的方程为.
该圆与轴的交点坐标为和.
所以符合题意的定点只能是或.
设直线与曲线的交点坐标为 ,,
由得.
由韦达定理得
设点,则.
所以直线的方程为.
令,得点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
若点满足要求,则满足.
因为
.
所以点满足题意.
同理可证点也满足题意.
故以为直径的圆过轴上的定点和.
【题目】某农户计划种植莴笋和西红柿,种植面积不超过亩,投入资金不超过万元,假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表:
年产量/亩 | 年种植成本/亩 | 每吨售价 | |
莴笋 | 5吨 | 1万元 | 0.5万元 |
西红柿 | 4.5吨 | 0.5万元 | 0.4万元 |
那么,该农户一年种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)的最大值为____万元