Question

【题目】首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：

①；②

(1)请直接写出的所有可能值；

(2)记，若对任意成立，求的通项公式；

(3)对于给定的正整数，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当为奇数时的最大值为; 当为偶数时，的最大值为.

【解析】

(1)由递推关系得到的所有可能值；

(2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；

(3) 由（2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.

（1）的值可以取 .

（2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，

即数列的偶数项是单调递增数列，

根据条件，，

所以当对成立 ，

下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，

假设数列中存在同时为非负数，

因为，

若 则有，与条件矛盾，

若则有， 与条件矛盾 ，

所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，

此时对成立，

所以当时，，即，

所以 ，

，

所以，

即，其中 ，

即，其中，

又，，

所以是以，公差为的等差数列，

所以 .

（3） 记img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/06/16/08/8f57fbfd/SYS201906160803112681422329_DA/SYS201906160803112681422329_DA.039.png" width="260" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

由（2）的证明知，不能都为非负数，

当，则，

根据，得到，所以，

当，则，

根据，得到，所以，

所以，总有成立 ，

当为奇数时，，故的奇偶性不同，则 ，

当为偶数时， ，

当为奇数时，，

考虑数列： ，，

可以验证，所给的数列满足条件，且,

所以的最大值为，

当为偶数时，，

考虑数列：，，-，， ,

可以验证，所给的数列满足条件，且，

所以的最大值为.