题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且（n+1）an=2Sn（n∈N*），数列{bn}满足 
， 
，对任意n∈N* ， 都有 
．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令Tn=a1b1+a2b2+…+anbn ． 若对任意的n∈N* ， 不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，试求实数λ的取值范围．
【答案】
（1）解：∵（n+1）an=2Sn，∴ 
，n∈N*
当n≥2时， 
，
∴nan﹣1=（n﹣1）an，即 
（ n≥2）．
∴ 
（n≥2），
又a1=1，也满足上式，
故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．．
由 
， 
， 
，
可知：数列{bn}是等比数列，其首项、公比均为 
，
∴数列{bn}的通项公式：bn= 
（2）解：∵anbn=n 
．
∴Tn= 
+3× 
+…+n ．
= 
+…+（n﹣1） +n 
，
∴ Tn= 
+…+ ﹣n = 
﹣n ，
∴ 
．
又Sn=1+2+…+n= 
．
不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，
即λn 
+ 
＜2 
，
即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．
设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．
当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；
当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＞1时，由于对称轴x= 
＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，
∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）
【解析】（1）由（n+1）an=2Sn ， 可得 ，n∈N* ， 利用递推关系可得： （ n≥2）．利用“累乘求积”方法即可得出an ． 利用等比数列的通项公式即可得出bn ． （2）由anbn=n ，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出Tn ． 代入不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn），化简整理利用二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．
