Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（-$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及对称轴方程；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和对称轴方程，计算可得；
（2）运用同角的平方关系和角的变换α=（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，结合两角和的正弦公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，$\frac{1}{2}$）•（sinx，-1）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
则T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
可得对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
（2）f（$\frac{α}{2}$）=sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
$α-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
sinα=sin[（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（$α-\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（$α-\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查二倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的周期公式和对称轴方程，考查角的变换的运用，属于中档题．