题目内容

16．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台，当笔记本的销售价为6000元/台时，月销售量为a台，市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月销售量减少的百分率为x2，记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元
（1）写出月利润y与x的函数关系式
（2）如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．

分析 （1）根据题意，算出每个电脑的利润，计算出销售量，两者相乘即可得到月利润y（元）与x的函数关系式；
（2）求得导数，研究函数的单调性，求函数取最值时x的取值即可．

解答 解：（1）依题意，销售价提高后电脑为6000（1+x）元/台，月销售量为a（1-x2）台，
则y=a（1-x2）[6000（1+x）-4500]，
即y=1500a（-4x3-x2+4x+1）（0＜x＜1）；                      
（2）函数的导数为y′=1500a（-12x2-2x+4），
令y′=0，得6x2+x-2=0，解得x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{2}{3}$（舍去）．               
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，y′＞0；当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，y′＜0．
所以，当x=$\frac{1}{2}$时，y取得最大值，此时销售价为9000元．
答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．

点评 本题考查根据实际问题选择合适的模型，是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去．主要考查导数的运用：求最值，属于中档题．

练习册系列答案
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