Question

【题目】将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法.

Answer 1

【答案】

【解析】

九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，共有种放法，考虑到翻转因素，故本质不同的放法有种.

下求使S达到最小值的放法数：

在圆周上，从1到9有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码.

则

当且仅当时，上式等号成立

即每段弧上的小球编号均为由1到9递增排列.

因此，.

由上，知当每段弧上的球号确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.

在1，2，…，9中，除1与9外，剩下七个球号2，3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情形，每种情形对应着圆周上使得S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数为种，故所求概率.