题目内容
【题目】某班有20人参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数.考试结果是：（1）没有0分；（2）没有两个同学的语文、数学成绩都相同.我们说“同学
比
的成绩好”是指“同学的语文、数学成绩都不低于”.证明：存在三个同学、、
，使得同学比的成绩好，同学比的成绩好.
【答案】见解析
【解析】
若同学
比
的成绩好，记为
.
原问题等价于证明：存在三个同学、、
，满足
.
用
表示第
个同学的语文、数学成绩
，于是，
，
且等号不同时成立.
因为语文成绩
在1到10的整数中取值，对这20个同学的语文成绩，由抽屉原理知，下列情形之一必然出现：
情形1：某个分数值，至少有三个人取得，即存在某个
，使得
（其中、
、
两两不等）；
情形2：每个分数值，恰好有两个人取得，即对任意的
，存在不同的、，使得
.
同理，对于数学成绩
同样有两种情形：
情形
：存在某个
，使得
（其中
、
、
两两不等）；
情形
：对任意的
，存在不同的、，使得.
下面进行讨论：
对情形1：若
，则由条件（2）知、
、
两两不等.
不失一般性，不妨设
，则
，即存在三个同学、、满足.
对情形同理可证.
对情形：有两个
，不失一般性，设
，于是，得
，
，且
.
不失一般性，不妨设
，则
.
这时，对于
，若出现情形，则结论成立；若出现情形，则必有两人得10分.
不妨设为
、
，易知、中至少有一个不取1（否则与条件（2）矛盾）.设为，则
.
所以，
，故结论成立.
对于情形同理可证.
综上所述，结论成立.
【题目】下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程
，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程
必过
；
④在一个
列联表中，由计算得是
，则有
的把握确认这两个变量间有关系.
其中错误的个数是（ ）
本题可以参考独立性检验临界值表：
| 0.05 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.0B.1C.2D.3
