题目内容
对于三次函数(),定义:设f″(x)是函数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数的“拐点”.有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,若函数,则=( )
A.2010 | B.2011 | C.2012 | D.2013 |
A
试题分析:因为函数 =,
所以令h(x)=,m(x)=,则g(x)=h(x)+m(x).
则h′(x)=x2-x+3,h″(x)=2x-1,令h″(x)=0,可得x=,故h(x)的对称中心为(,1).
设点p(x0,y0)为曲线上任意一点,则点P关于(,1)的对称点P′(1-x0,2-y0)也在曲线上,∴h(1-x0)=2-y0 ,∴h(x0)+h(1-x0)=y0+(2-y0)=2.
所以
==1005×2=2010.
由于函数m(x)=的对称中心为(,0),可得m(x0)+m(1-x0)=0.
∴
==1005×0=0.
所以= +
=2010+0=2010,故答案为2010.
点评:难题,运用化归与转化的数学思想方法,将函数g(x)的研究进行拆分,简化了解题过程。解答此类题目,心理素质首先要过关,不畏难,静心思考。
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