题目内容
(本题满分12分)
设函数(a>0,b,cÎR),曲线在点P(0,f (0))处的切线方程为.
(Ⅰ)试确定b、c的值;
(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
设函数(a>0,b,cÎR),曲线在点P(0,f (0))处的切线方程为.
(Ⅰ)试确定b、c的值;
(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ). (Ⅱ)当时,过点(0,2)可作曲线的三条不同切线.
试题分析:(Ⅰ)由得,
, ……2分
又由曲线在点P(0,)处的切线方程为,得,
,故.……4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
设存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,并设切点为.
则切线的斜率为,
切线方程为,.
∵切线过点(0,2),∴.
于是得, (*) ……6分
由已知过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,则方程(*)应有三个不同实数根.
令,则.
令,得或.……8分
由于,所以函数在区间上为增函数,在区间上为减函数,在区间为增函数,所以函数在处取极大值,在处取极小值.
要使方程(*)有三个不同实数根,,得.……11分
综上所述,当时,过点(0,2)可作曲线的三条不同切线.……12分
注:如有其它解法,斟情给分.
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)作为存在性问题,先假定存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,通过研究函数的单调性,认识函数特征,转化成只需使方程有三个不同实数根,得到a的不等式。
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