题目内容
【题目】已知函数f(x)=|ax2+x﹣4a|,其中x∈[﹣2,2],a∈[﹣1,1].
(1)当α=1时,求函数y=f(x)的值域;
(2)记f(x)的最大值为M(a),求M(a)的取值范围.
【答案】
(1)解:当α=1时,f(x)=|x2+x﹣4|,x∈[﹣2,2],
由x2+x﹣4=0,解得x= ,
由f(x)在[﹣2,﹣ ]递增,在(﹣ , )递减,
在( ,2]递增,可得
f(x)的最小值为0,由f(﹣ )= ,f(2)=4,
最大值为 .
则f(x)的值域为[0, ];
(2)解:设f(x)=0的两根为x1,x2,(x1<x2),
当﹣1≤a≤﹣ 时,f(x)在(﹣2,x1)递减,(x1,﹣ )递增,(﹣ ,2)递减,
可得f(x)在x=﹣ 处取得最大值,且为﹣ ;
当﹣ <a≤0时,f(x)在(﹣2,x1)递减,(x1,2)递增,
可得f(x)在x=±2处取得最大值2;
当0<a≤ 时,f(x)在(﹣2,x2)递减,(x2,2)递增,可得f(x)在x=±2处取得最大值2;
当 <a≤1时,f(x)在(﹣2,﹣ )递增,(﹣ ,x2)递减,(x2,2)递增,
可得f(x)在x=﹣ 处取得最大值,且为 .
即有M(a)= ,
当﹣1≤a≤﹣ 时,M(a)=(﹣4a)+ 在[﹣1,﹣ ]递减,可得M(a)∈[2, ];
当 <a≤1时,M(a)=4a+ 递增,可得M(a)∈[2, ].
综上可得,M(a)的取值范围是[2, ]
【解析】(1)求出当α=1时,f(x)=|x2+x﹣4|,x∈[﹣2,2],解方程可得两根,再由f(x)的单调性,可得值域;(2)设f(x)=0的两根为x1 , x2 , (x1<x2),对a讨论,当﹣1≤a≤﹣ 时,当﹣ <a≤0时,当0<a≤ 时,当 <a≤1时,运用单调性可得最大值,再由基本不等式和单调性,即可得到所求范围.
【考点精析】掌握二次函数的性质和绝对值不等式的解法是解答本题的根本,需要知道当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减;含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.