Question

【题目】已知函数 ，现有一组数据（数据量较大），从中随机抽取10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）现从茎叶图的数据中任取4个数据分别替换m的值，
求至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m的值，记使得函数f（x）没有零点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算平均数为 = ×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
从茎叶图10个数据中任取4个，有 =210种不同的取法；
函数f（x）=x2+ 中，
△=2（m﹣1）2﹣m=2m2﹣5m+2，
令△＜0，解得 ＜m＜2，
∴满足函数f（x）没有零点的数据是0.7，1.4，1.8，1.9共4个；
用抽出的4个数分别替换m的值，至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率为
P=1﹣ ﹣ = ；
（Ⅱ）满足函数f（x）没有零点的数据有4个，
∴ξ的所有可能取值分别为0，1，2，3，4；
则P（ξ=0）= = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ；
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

数学期望为Eξ=0× +1× +2× +3× +4× = =1.6
【解析】（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义列方程求出a的值；利用判别式△＜0求出函数f（x）没有零点时m的取值范围，再利用对立事件的概率公式计算所求的概率值；（Ⅱ）根据题意知ξ的所有可能取值，求出对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．
【考点精析】关于本题考查的茎叶图和离散型随机变量及其分布列，需要了解茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．