Question

【题目】设对任意恒成立，其中、是整数，则的取值的集合为____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用换元法设f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．

∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，

∴当x＝0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，

当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3≤0，则 a<0

设f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，

若b＝0，则g（x）＝x2＞0，

函数f（x）＝ax+3的零点为x，则函数f（x）在（0，）上f（x）＞0，此时不满足条件．

故b＞0，a<0

∵函数f（x）在（0，）上f（x）＞0，则（，+∞））上f（x）＜0，

而g（x）在（0，+∞）上的零点为x，且g（x）在（0，，）上g（x）＜0，则（，+∞））上g（x）＞0，

∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，

则函数f（x）与g（x）的零点相同，即，

∵a，b，是整数，

∴﹣a是3的约数，即﹣a＝1，或﹣a＝3，

即a＝﹣1，或a＝﹣3，

当a＝﹣1时，3，即b＝9，

当a＝﹣3时，1，即b＝1，

即a+b＝﹣1+9＝8或a+b＝﹣3+1＝﹣2，

即a+b的取值的集合为{8，﹣2}，

故答案为：{8，﹣2}．