题目内容
【题目】已知等比数列的公比
,前
项和为
,且满足
.
,
,
分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
;
(3)若,
的前
项和为
,且对任意的
满足
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) . (2)
;(3)
【解析】
(1)利用等比数列通项公式以及求和公式化简,得到
,由
,
,
分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项,利用等差数列的定义可得
,化简即可求出
,从而得到数列
的通项公式。
(2)由(1)可得,利用错位相减,求出数列
的前
项和
即可;
(3)结合(1)可得,利用裂项相消法,即可得到
的前
项和
,求出
的最大值,即可解得实数
的取值范围
(1)由得
,所以
,
由,
,
分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项,
得,
即,
即,即
,
因为,所以
,所以
.
(2)由于,所以
,
所以,
,
两式相减得,,
所以
(3)由知
,
∴
,
∴,
解得或
.
即实数的取值范围是
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