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(本题满分12分)设函数
..
(Ⅰ)
时,求
的单调区间;
(Ⅱ)当
时,设
的最小值为
,若
恒成立,求实数t的取值范围.
试题答案
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(Ⅰ) 当
时,增区间为
,减区间为
(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)解:
, ……1分
当
时,
,解
得
的增区间为
,
解
得
的减区间为
. ……4分
(Ⅱ)解:若
,由
得
,由
得
,
所以函数
的减区间为
,增区间为
;
, ……6分
因为
,所以
,
令
,则
恒成立,
由于
,
当
时,
,故函数
在
上是减函数,
所以
成立; ……10分
当
时,若
则
,故函数
在
上是增函数,
即对
时,
,与题意不符;
综上,
为所求. ……12分
点评:考查函数时,不论考查函数的什么性质,先考查函数的定义域.
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对于三次函数
,给出定义:设
是函数
的导数,
是
的导数,若方程
有实数解
,则称点
为函数
的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”应对对称中心.根据这一发现,则函数
的对称中心为
.
定义在
上的函数
,对任意
均有
且
,则
.
设函数
(1)若a>0,求函数
的最小值;
(2)若a是从1,2,3三个数中任取一个数,b是从2,3,4,5四个数中任取一个数,求f (x)>b恒成立的概率。
曲线
在点
处的切线斜率为
.
已知
是函数
的一个极值点。
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ)求函数
的单调区间;
(Ⅲ)若直线
与函数
的图象有3个交点,求
的取值范围。
(本小题满分14分)
已知函数
.
(Ⅰ) 求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若函数
的图像在点
处的切线的倾斜角为
,问:
在什么范围取值时,对于任意的
,函数g(x)=x
3
+
x
2
在区间
上总存在极值?
(Ⅲ)当
时,设函数
,若在区间
上至少存在一个
,
使得
成立,试求实数
的取值范围.
已知函数f(x)=ln x-
.
(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
,求a的值;
(3)若f(x)<x
2
在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
已知函数f(x)=
x
2
+lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>1时,
x
2
+lnx<
x
3
.
关 闭
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