Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求

AA1

AB

的值；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-AE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，直线DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AA₁=a，AB=b，然后表示出向量

AC

，

DB1

，计算它们的数量可得结论；
（2）根据B₁D⊥AE，可得

DB1

•

AE

=-b2+

1

2

a2=0，求出a和b的等量关系，从而求出

AA1

AB

的值；
（3）

DC

是平面DAE的一个法向量，然后求出平面AEC的一个法向量n，最后根据公式cosθ=

DC •n

| DC ||n|

求出二面角D-AE-C的大小．

解答：解：因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，底面ABCD是正方形，所以DA、DC、DD₁两两垂直．
如图，以D为原点，直线DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设AA₁=a，AB=b．
则 D（0，0，0），A（b，0，0），B（b，b，0），C（0，b，0），B₁（b，b，a）．
（1）证明：因为

AC

=(-b，b，0)，

DB1

=(b，b，a)，
所以

AC

•

DB1

=0，
所以AC⊥B₁D．…（3分）
（2）解：因为B₁D⊥平面ACE，
所以B₁D⊥AE．
因为E(0，0，

a

2

)，所以

AE

=(-b，0，

a

2

)，
因为 

DB1

•

AE

=-b2+

1

2

a2=0，
所以 

AA1

AB

=

a

b

=

2

．…（6分）
（3）解：

DC

是平面DAE的一个法向量，

DC

=(0，b，0)．
设n=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，则n•

AC

=0，n•

AE

=0，
即 

-bx+by=0 -bx+ a 2 z=-bx+ 2 2 bz=0

取x=1，则y=1，z=

2

，即n=(1，1，

2

)．…（8分）
设二面角D-AE-C的大小是θ，则cosθ=

DC •n

| DC ||n|

=

1

2

，
所以二面角D-AE-C的大小是60°．…（10分）．

点评：本题主要考查了线线位置关系以及二面角的度量，利用空间向量解决立体几何问题也是常用的方法，同时考查计算能力，属于中档题．