Question

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点， PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1.
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：MC⊥BD；
（Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.

Answer 1

（1）略
（2）略
（3）

解：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是PA，BC的中点， 
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE平面MNE，MENE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，又MN平面MNE
所以，MN∥平面PCD           ……………4分
（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为
轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系.
则D（0，0，0），A（，0，0），
B（，1，0），（0，1，0）， P（0，0，）      
所以（，0，），，  
∵·=0，所以MC⊥BD        ……………8分
（Ⅲ）因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，
由已知，所以平面PBD的法向量
M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，所以DM⊥平面PAB，
所以平面PAB的法向量（-，0，），设二面角A—PB—D的平面角为θ，
则.   所以，二面角A—PB—D的余弦值为.     ……………12分