Question

【题目】如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点． （Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；
（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO． 因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．
又 EO平面AEC，QB平面AEC，
所以 QB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD平面ABCD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADPQ．
又AE平面ADPQ，所以CD⊥AE．
因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．
所以AE⊥平面QDC．
所以平面QDC⊥平面AEC．
（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，
所以 ．

【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，计算求解即可．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．