Question

【题目】已知函数 f(x) = －ax(a > 0).

(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；

(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（1）先求导，根据导数，利用函数单调性和函数的最值即可证得，

（2）根据题意可得x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，可以判断a＞1，分别根据函数零点存在定理可得f′（x1）＝f′（x2）＝0，可得aa＝0，即可得到a，则f″（）（），设t＞0，再根据函数g（t）＝（2t﹣et）et+1，求导，借助于（1）的结论即可证明.

（1）当a＝1时，f（x）＝exx2﹣x，

则f′（x）＝ex﹣x﹣1，

∴f″（x）＝ex﹣1＞0，（x＞0），

∴f′（x）＝ex﹣x﹣1单调递增，

∴f′（x）＞f′（0）＝0，

∴f（x）单调递增，

∴f（x）＞f（0）＝1＞0，

故对于任意x＞0，都有f（x）＞0成立；

（2）∵函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值

∴x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，

∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，

当a≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，f′（x）＝0至多有一个实数解，不符合题意，

当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞），

∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，

由题意，应有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，

此时f′（﹣1）0，

∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，

易知当时，f(x).

∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，

∴a＞1满足题意，

∵f′（x1）＝f′（x2）＝0，

∴aa＝0，

∴a，

∴f″（）a（），

设t＞0，

∴et，

设g（t）＝（2t﹣et）et+1，

∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，

由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，

∴g（t）单调递减，

∴g（t）＜g（0）＝0，

即f″（）＜0，

∴

∴lna．