题目内容
【题目】已知,
,其中
、
均为实数.
(Ⅰ)若,求
的取值范围;
(Ⅱ)设,若
,在区间
上总存在
、
使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)利用导数研究函数在区间
上的单调性,由此可求得函数
在区间
上的值域;
(Ⅱ)求得,分
和
两种情况讨论,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,由题意可知函数
的极值点必在区间
,且
在
上的值域包含于
的值域,由此可得出实数
的不等式组,即可解得实数
的取值范围.
(Ⅰ)由题意可知,所以当
时,
,函数
在
上单调递增,
当时,
,函数
在
上单调递减,所以
,
又因为,
,所以
;
(Ⅱ)由题意可知,
当时,
,所以,函数
在
上单调递减,不符合题意;
当时,在区间
上总存在
、
使得
,
那么由题意知的极值点必在区间
内,即
,得
,且函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
由题意得在
上的值域包含于
的值域,
所以,整理得
,记
,
则,当
时,
,函数
单调递增,
当时,
,函数
单调递减,所以
,
即当时,
成立,即
成立,所以
.
因此,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径 | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(1)由以往统计数据知,设备的性能根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①
;②
;③
,评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.为评判一台设备
的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为
,试判断设备
的性能等级
(2)将直径小于等于或直径大于
的零件认为是次品.
(i)若从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,求恰有一件次品的概率;
(ii)若从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数分布列和数学期望
.