题目内容
19．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．
分析 （I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．
（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．
解答 解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得
2cos2A+3cosA-2=0，-----（2分）
即（2cosA-1）（cosA+2）=0．
解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去）．-----（4分）
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．----（6分）
（II）由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，得bc=20．
又b=5，所以c=4．-----（8分）
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，故a=$\sqrt{21}$．---（10分）
又由正弦定理，得sinBsinC=$\frac{b}{a}$sinA•$\frac{c}{a}$sinA=$\frac{bc}{{a}^{2}}$•sin2A=$\frac{20}{21}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{7}$．----（12分）
点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
7．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：
附表：
（参考公式k2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，（n=a+b+c+d）
则有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．
| 喜欢 | 不喜欢 | 总计 | |
| 男 | 15 | 10 | 25 |
| 女 | 5 | 20 | 25 |
| 总计 | 20 | 30 | 50 |
| P（K2≥k0） | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
则有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．
4．已知$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），且 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $2\sqrt{5}$ | D． | 10 |
11．边长为1的正三角形ABC内一点M（包括边界）满足：$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{CB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CM}$的取值范围为（ ）
| A． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$] | B． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$] | C． | [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$] | D． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{6}$] |