Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-x+b，其中a，b为常数．
（1）当a=-1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为$\frac{1}{3}$，求b的值；
（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；
（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，求出函数的导数，利用函数f（x）在[0，1]上单调递减，推出b的关系式，求解b即可．（2）利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=-a，求出极值点两个不等实根x_1，2=$-a±\sqrt{{a}^{2}+1}$，①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，②当方程f′（x）=0在区间（-∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，分别求解a的范围即可．
（3）设P（x₁，f（x₁）），则P点处的切线斜率m₁=x₁²+2ax₁-1，推出Q点处的切线方程，化简，得x₁+2x₂=-3a，通过两条切线相互垂直，得到（4x₂²+8ax₂+3a²-1）（x₂²+2ax₂-1）=-1．求解x₂²+2ax₂-1≥-（a²+1），然后推出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=-1时，f′（x）=x²-2x-1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…（2分）
由f （1）=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}$-1-1+b=$\frac{1}{3}$，解得b=2．…（4分）
（2）f′（x）=x²+2ax-1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=-a，
因为△=4a²+4＞0，f′（x）=0有两个不等实根x_1，2=$-a±\sqrt{{a}^{2}+1}$，…（5分）
①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，有
$\left\{\begin{array}{l}-a＜a\\ f′（a）≥0\end{array}\right.$解得$a≥\frac{\sqrt{3}}{3}$． …（6分）
②当方程f′（x）=0在区间（-∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，
有：f′（a）＜0，或$\left\{\begin{array}{l}-a＜a\\ f′（a）=0\end{array}\right.$，解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}≤a＜\frac{\sqrt{3}}{3}$． …（8分）
③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，有$\left\{\begin{array}{l}-a＞a\\ f′（a）＞0\end{array}\right.$，
解得$a＜-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综上：当$a＞\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数；
当$-\frac{\sqrt{3}}{3}≤a＜\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f（x）在区间（a，$-a+\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是单调减函数，在区间（$-a+\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）上是单调增函数
当$a＜-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f（x）在区间（a，$-a-\sqrt{{a}^{2}+1}$），（$-a+\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）上是单调增函数，在区间（$-a-\sqrt{{a}^{2}+1}$，$-a+\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是单调减函数．…（10）
（3）设P（x₁，f（x₁）），则P点处的切线斜率m₁=x₁²+2ax₁-1，
又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x₂，f（x₂）），x₁≠x₂，则Q点处的切线方程为
y-f（x₂）=（ x₂²+2ax₂-1）（x-x₂），
所以f（x₁）-f（x₂）=（ x₂²+2ax₂-1）（x₁-x₂），
化简，得x₁+2x₂=-3a． …（12分）
因为两条切线相互垂直，所以（x₁²+2ax₁-1）（x₂²+2ax₂-1）=-1，
即（4x₂²+8ax₂+3a²-1）（x₂²+2ax₂-1）=-1．
令t=x₂²+2ax₂-1≥-（a²+1），则关于t的方程t（4t+3a²+3）=-1在t∈[-（a²+1），0）上有解，…（14分）
所以3a²+3=-4t-$\frac{1}{t}$≥4（当且仅当t=-$\frac{1}{2}$时取等号），
解得a²≥$\frac{1}{3}$，
故a的取值范围是$（-∞，-\frac{\sqrt{3}}{3}]∪[\frac{\sqrt{3}}{3}，+∞）$． …（16分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的应用，考查转化思想以及计算能力．