题目内容
11．边长为1的正三角形ABC内一点M（包括边界）满足：$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{CB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CM}$的取值范围为（ ）| A． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$] | B． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$] | C． | [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$] | D． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{6}$] |
分析 通过已知M在三角形内或者边界，得到λ的范围，然后利用向量的数量积解答．
解答 解：因为点M在△ABC一点，（包括边界）满足：$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{CB}$（λ∈R），
所以0≤λ≤$\frac{2}{3}$，所以$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+λ$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}$+$λ\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}+\frac{λ}{2}$，
所以$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CM}$$∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$；
故选B．
点评 本题考查了向量的三角形法则以及数量积运算，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
3．若对任意的正实数t，函数f（x）=（x-t）3+（x-lnt）3-3ax在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | $（-∞，\frac{1}{2}]$ | B． | $（-∞，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$ | C． | $（-∞，\sqrt{2}]$ | D． | （-∞，2] |
20．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：
根据上表：
（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；
（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
| 星期 | 先秦文化 | 趣味数学 | 国学 | 网络技术 |
| 星期二 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{3}$ |
| 星期四 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；
（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．