题目内容
【题目】已知平行四边形中,
,
为
的中点,且△
是等边三角形,沿
把△
折起至
的位置,使得
.
(1)是线段
的中点,求证:
平面
;
(2)求证:;
(3)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)取的中点
,连结
、
,可证
,且
,结合条件可得四边形
为平行四边形,所以
,由线面平行的判定定理即可得到
平面
;(2)由折叠前图形可得
,在四棱锥
中,即有
,由余弦定理和勾股定理可得
,从而证得
平面
,由线面垂直的性质可证得结论;(3)设点
到平面
的距离为
,进行定体积变换
即可求得点
到平面
的距离.
试题解析:证明:(1)取的中点
,连结
、
,
因为为
的中点,故
,且
,
又,且
所以四边形为平行四边形,
,
又平面
,
平面
,故
平面
.
(2)折叠前,,
,即
,
在四棱锥中,即有
,
在△中,
,
,由余弦定理得
,
又,
,由勾股定理的逆定理,得
,
,
又,从而
平面
,
平面
,得
.
(3)由(2)知,平面
,
设点到平面
的距离为
,则由
,
得,
,
解得.
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