题目内容
【题目】已知f(x)=xlnx﹣ax,g(x)=﹣x2﹣2.
(1)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=﹣1时,求函数f(x)在区间[m,m+3](m>0)上的最值;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有 成立.
【答案】
(1)
解:对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立.
也就是 在x∈(0,+∞)上恒成立.令
,
则 .x∈(0,1)时,F'(x)<0,x∈(1,+∞)时,F'(x)>0.
因此F(x)在x=1处取极小值,也是最小值,即F(x)min=F(1)=3,
∴a≤3;
(2)
解:当a=﹣1时,f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,由f'(x)=0得 .
当 时,在
上f'(x)<0,在
上f'(x)>0.
因此f(x)在 处取得极小值,也是最小值.故
.
由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,
因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1].
当 时,f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上单调递增,
故f(x)min=f(m)=m(lnm+1),f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1];
(3)
证明:要证 成立,即证
,x∈(0,+∞).
由(2)知a=﹣1时,f(x)=xlnx+x的最小值是 ,当且仅当
时取等号.
设 ,x∈(0,+∞),则
,易知
,
当且仅当x=1时取到.
从而可知对一切x∈(0,+∞),都有 .
【解析】(1)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立,可化为a≤lnx+x+ 在x∈(0,+∞)上恒成立.令F(x)=lnx+x+
,利用导数研究其单调性极值与最值即可得出;(2)把a=﹣1代入f(x),再求出f′(x),由f'(x)=0得
,然后分类讨论,当
时,在
上f'(x)<0,在
上f'(x)>0,因此f(x)在
处取得极小值,由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1],当
时,f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上单调递增,从而可求出函数f(x)在区间[m,m+3](m>0)上的最值;(3)要证
成立,即证
,由(Ⅱ)知a=﹣1时,f(x)的最小值是
,当且仅当
时取等号.设
,x∈(0,+∞),则
,易知
,当且仅当x=1时取到,即可证得结论.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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