[题目]一缉私艇巡航至距领海边界线l3.8海里的A处.发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑.缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． (1)若走私船沿正东方向逃离.试确定缉私艇的追击方向.使得用最短时间在领海内拦截成功,(参考数据:sin17� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈ ， ≈5.7446）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

【答案】
（1）解：设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．

△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC= = ，

∴∠BAC=17°，

∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，

△ABC中，由余弦定理可得cos120°= ，∴BC≈1.68615．

B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8，

∵1.68615＜1.8，

∴能最短时间在领海内拦截成功

（2）解：以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2 ），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则PA=3PB，

即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2 ）2]，即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，

∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，

∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，

∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．

【解析】（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐标系，求出P的轨迹方程，即可解决．

练习册系列答案

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【解析】试题分析：

（1）设所求直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程，解方程可得，则所求直线方程为

（2）方法1：假设存在这样的点，由题意可得，则，然后证明为常数为即可.

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，据此得到关于的方程组，求解方程组可得存在点对于圆上任一点，都有为常数.

试题解析：

（1）设所求直线方程为，即，

∵直线与圆相切，∴，得，

∴所求直线方程为

（2）方法1：假设存在这样的点，

当为圆与轴左交点时，；

当为圆与轴右交点时，，

依题意，，解得，（舍去），或.

下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数.

设，则，

∴ ，

从而为常数.

方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，

∴，将代入得，

，即

对恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆上任一点，都有为常数.

点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

【题型】解答题
【结束】
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