题目内容
【题目】已知抛物线C: ,点
在x轴的正半轴上,过点M的直线
与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若,且直线
的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(2)是否存在定点M,使得不论直线绕点M如何转动,
恒为定值?
【答案】(1)以AB为直径的圆的方程是;(2)存在定点
,满足题意.
【解析】试题分析:(1)由题意得,直线
的方程
与抛物线方程联立,利用韦达定理,可得圆心坐标和圆的半径,从而可得圆的方程.
(2)若存在定点这样的点,使得
恒为定值;直线
:
与抛物线C:
联立,计算
,
,利用
恒为定值,可求出点
的坐标.
试题解析:(1)当时,
,此时,点M为抛物线C的焦点,
直线的方程为
,设
,联立
,
消去y得, ,∴
,
,∴圆心坐标为
.
又,∴圆的半径为4,∴圆的方程为
.
(2)由题意可设直线的方程为
,则直线
的方程与抛物线C:
联立,
消去x得: ,则
,
,
对任意
恒为定值,
于是,此时
.
∴存在定点,满足题意.
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练习册系列答案
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求该选手射击一次,
(1)命中9环或10环的概率.
(2)至少命中8环的概率.
(3)命中不足8环的概率.