题目内容
【题目】已知圆过两点
,
,且圆心
在直线
上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)直线过点
且与圆
有两个不同的交点
,
,若直线
的斜率
大于0,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线使得弦
的垂直平分线过点
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(x﹣1)2+y2=25;(Ⅱ) ;(Ⅲ)x+2y﹣1=0.
【解析】试题分析:(Ⅰ)圆心C是MN的垂直平分线与直线2x-y-2=0的交点,CM长为半径,进而可得圆的方程;
(Ⅱ)直线l过点(-2,5)且与圆C有两个不同的交点,则C到l的距离小于半径,进而得到k的取值范围;
(Ⅲ)求出AB的垂直平分线方程,将圆心坐标代入求出斜率,进而可得答案.
试题解析:
(I)MN的垂直平分线方程为:x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C(1,0)
R2=|CM|2=(﹣3﹣1)2+(3﹣0)2=25
∴圆C的标准方程为:(x﹣1)2+y2=25
(II)设直线的方程为:y﹣5=k(x+2)即kx﹣y+2k+5=0,设C到直线l的距离为d,
则d=
由题意:d<5 即:8k2﹣15k>0
∴k<0或k>
又因为k>0
∴k的取值范围是(,+∞)
(III)设符合条件的直线存在,则AB的垂直平分线方程为:y+1=﹣
(x﹣3)即:x+ky+k﹣3=0
∵弦的垂直平分线过圆心(1,0)∴k﹣2=0 即k=2
∵k=2>
故符合条件的直线存在,l的方程:x+2y﹣1=0.
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【题目】某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间。按年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频率分布表。
区间 | |||||
人数 | a | b |
(1)求正整数a,b,N的值;
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少?
(3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求恰有1 人在第3组的概率。