Question

【题目】如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于E,D两点,连接EC,CD.
（1）求证:直线AB是☉O的切线;
（2）若tan∠CED= ,☉O的半径为3,求OA的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图,连接OC,

∵OA=OB,CA=CB,

∴OC⊥AB.

∴AB是☉O的切线.

（2）解：∵ED是直径,

∴∠ECD=90°.

∴在Rt△ECD中,tan∠CED= .

∵BC是☉O的切线,

∴BC2=BD·BE,∠BCD=∠E.

又∠CBD=∠EBC,

∴△BCD∽△BEC.

∴ .

设OA=x,则BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2（x-3）,BE=BO+OE=x+3,

∴[2（x-3）]2=（x-3）（x+3）,

解得x=5或x=3（舍去）.

∴OA=5.

【解析】本题主要考查了与圆有关的比例线段，解决问题的关键是:（1）转化为证明OC⊥AB即可;（2）先证明△BCD∽△BEC,再借助于对应边成比例,解方程得OA的长