题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,若
,求原点
到直线
的距离的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由已知求得,再由椭圆离心率及隐含条件求得
,则椭圆方程可求;(2)联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由判别式大于0求得
,再由
,可得
,从而求得
的范围,再由点到直线的距离公式求出原点
到直线
的距离,则取值范围可求.
试题解析:(1)设焦距为,由已知
,
,∴
,又
,解得
,∴椭圆
的标准方程为
;
(2)设,
,联立
得
,依题意,
,化简得
,①,
,
,
,若
,则
,即
,∴
,∴
,即
,化简得
,②,由①②得
,
,∵原点
到直线
的距离
,∴
,又∵
,∴
,∴原点
到直线
的距离的取值范围是
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