Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知点轨迹的参数方程为（，为参数），点在曲线上.

（1）求点轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为;(2) .

【解析】分析：（1）消去参数，即可得普通方程，注意变量的范围；

（2）点在曲线上，化为直角方程即为圆，数形结合利用圆和线段的关系求最值即可.

详解：

（1）由消去参数，得.

又，∴.

故点轨迹的变通方程是.

∵，∴，∴，即.

故曲线的直角坐标方程为.

（2）如图：

由题意可得，点在线段上，点在圆上，

∵圆的圆心到直线的距离，

∴直线与圆相切，且切点为.

易知线段上存在一点，

则点与圆心的连线，与圆的交点满足取最大值.

即当点坐标为时，取最大值.

∵，

∴的最大值为.