题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)当时,若对任意的
、
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数在
上的值城为区间
,是否存在常数
,使得区间
的长度为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.(注:区间
的长度为
).
【答案】(1);(2)
;(3)存在常数
或
满足题意.
【解析】
(1)求出函数的对称轴,得到函数的单调性,建立关于的不等式组,解出即可;
(2)依题意,函数在
上的最大值小于等于函数
在
上的最小值,此时可以分离变量,也可以直接求解;
(3)通过讨论的范围,结合函数的单调性以及
、
的值,得到关于
的方程,解出即可.
(1)由题意得,函数的对称轴为
,
故函数在区间
上为增函数,
函数
在区间
上存在零点,
,即
,解得
,故实数
的取值范围为
;
(2)依题意,函数在
上的最大值小于等于函数
在
上的最小值,
当时,
,
易知,函数在
上的最大值为
.
法一:当时,函数
在
上为增函数,
则,符合题意;
当时,函数
在
上为减函数,
则,解得
.
综上,实数的取值范围为
;
法二:依题意,对任意
都成立,
,
,则
,
当时,则有
,显然成立;
当时,则
对任意
都成立,
则函数为增函数,故
,即
.
综上,实数的取值范围为
;
(3)依题意,解得
.
①当时,当
时,
,
,即
,
,即
,
解得;
②当时,当
时,
,
,
,
,解得
;
③当时,当
时,
,
,
,
,解得
,不符合,舍去;
综上,存在常数或
满足题意.
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【题目】汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过
的型汽车进行惩罚,某检测单位对甲、乙两类
型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:
):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | 100 | 160 |
经测算发现,乙类型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为
.
(Ⅰ)从被检测的5辆甲类型品牌车中任取2辆,则至少有1辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少?
(Ⅱ)求表中,并比较甲、乙两类
型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.
,其中,
表示
的平均数,
表示样本数量,
表示个体,
表示方差)
【题目】有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下:
甲公司 | 乙公司 | ||||||||
职位 | A | B | C | D | 职位 | A | B | C | D |
月薪/千元 | 5 | 6 | 7 | 8 | 月薪/千元 | 4 | 6 | 8 | 10 |
获得相应职位概率 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 获得相应职位概率 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
(1)若两人分别去应聘甲、乙两家公司的C职位,记这两人被甲、乙两家公司的C职位录用的人数和为,求
的分布列;
(2)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司?说明理由。
(3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用,求小王月薪高于小李的概率。