Question

8．已知a，b均为正整数，圆x²+y²-2ax+a²（1-b）=0与圆x²+y²-2y+1-a²b=0外切，则ab的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通过圆的位置关系，推出ab关系，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答 解：圆x²+y²-2ax+a²（1-b）=0的圆心（a，0），半径：$a\sqrt{b}$；
圆x²+y²-2y+1-a²b=0的圆心（0，1），半径：$a\sqrt{b}$；
两个圆外切，可得a²+1=4a²b，
可得ab=$\frac{{a}^{2}+1}{4a}$=$\frac{a}{4}+\frac{1}{4a}$≥$2\sqrt{\frac{a}{4}•\frac{1}{4a}}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=1时等号成立．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．