题目内容
【题目】已知定义域为R的函数f（x）=
是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（3）若对任意的x∈[1，2]，存在t∈[1，2]使得不等式f（x2+tx）+f（2x+m）＞0成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）a=2，b=1；（2）见解析；（3）（-∞，-10）．
【解析】
（1）根据奇函数的性质，列式f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）可解得；
（2）先分离常数，判断单调递减，再用定义作差证明；
（3）先根据奇偶性和单调性将函数不等式变形，去掉函数符号后，先按照对x恒成立，在按照对t有解转化为最值解决．
解（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b-1=0，∴b=1，
又f（-x）=-f（x）∴f（-1）=-f（1），∴
=-
，∴a=2
综上所述：a=2，b=1；经检验满足题意.
（2）由（1）知：f（x）=
+
，∴f（x）是R上的减函数，
证明如下：
设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
+
+
=
，
∵x1＜x2，∴
＜
，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是R上的减函数，
（3）∵f（x2+tx）+f（2x+m）＞0
∴f（x2+tx）＞-f（2x+m）
∴f（x2+tx）＞f（-2x-m）
∴x2+tx＜-2x-m
∴m＜-x2-（2+t）x 对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴
，∴m＜-8-2t对t∈[1，2]有解，
∴m＜-8-2=-10，
所以实数m的取值范围是（-∞，-10）．
【题目】调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（x，y，z） | （1，1，2） | （2，1，1） | （2，2，2） | （0，1，1） | （1，2，1） |
人员编号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
（x，y，z） | （1，2，2） | （1，1，1） | （1，2，2） | （1，0，0） | （1，1，1） |
（1）在这10名被调查者中任取两人，求这两人的居住满意度指标z相同的概率；
（2）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m﹣n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．
