题目内容
【题目】已知函数,过点
作与
轴平行的直线交函数
的图像于点
,过点
作
图像的切线交
轴于点
,则
面积的最小值为____.
【答案】
【解析】
求出f(x)的导数,令x=a,求得P的坐标,可得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程,令y=0,可得B的坐标,再由三角形的面积公式可得△ABP面积S,求出导数,利用导数求最值,即可得到所求值.
函数f(x)=的导数为f′(x)
,
由题意可令x=a,解得y,
可得P(a,),
即有切线的斜率为k,
切线的方程为y﹣(x
),
令y=0,可得x=a﹣1,
即B( a﹣1,0),
在直角三角形PAB中,|AB|=1,|AP|,
则△ABP面积为S(a)|AB||AP|
,a>0,
导数S′(a),
当a>1时,S′>0,S(a)递增;当0<a<1时,S′<0,S(a)递减.
即有a=1处S取得极小值,且为最小值e.
故答案为:e.
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