题目内容
【题目】如图,曲线由曲线
和曲线
组成,其中点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点,点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点.
(Ⅰ)若,求曲线
的方程;
(Ⅱ)如图,作直线平行于曲线
的渐近线,交曲线于点
,求证:弦
的中点
必在曲线
的另一条渐进线上;
(Ⅲ)对于(Ⅰ)中的曲线,若直线
过点
交曲线
于点
,求
与
面积之和的最大值.
【答案】(Ⅰ)和
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
试题分析:(1)由已知条件布列关于的方程组,即可得到曲线
的方程;(2)设直线
代入
,得到
,从而可得
,所以弦
的中点
必在曲线
的另一条渐进线上;(3)由题意可知:
和
面积之和等于
面积的两倍,利用设而不求法表示
,整体换元结合均值不等式即可求得面积的最大值.
试题解析:
(Ⅰ),
则曲线的方程为和
(Ⅱ)曲线的渐近线为
,如图,设直线
,
则,
设点,则
,
,
,即点
在直线
上.
(Ⅲ)因为的中点为原点
,所以
和
面积之和等于
面积的两倍,由(Ⅰ)知,曲线
,点
,
设直线的方程为
,
,
设由韦达定理:
,
所以,
到直线
距离
,
,
令,
,
,当且仅当
即
时等号成立,
所以时,
与
面积之和的最大值为
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练习册系列答案
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对阵队员 | A队队员胜 | A队队员负 |
A1对B1 |
| |
A2对B2 | ||
A3对B3 |
(1)求A队最后所得总分为1的概率;
(2)求ξ的分布列,并用统计学的知识说明哪个队实力较强.