题目内容
如图，已知正三角形PAD，正方形ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦．．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦．．
（1）取AD的中点O，由正△PAD可得PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．
又∵CD⊥AD，PO∩AD=O，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
（2）由（1）可知：CD⊥AE．
∵E为正三角形PAD的边PD的中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）由（2）可知：AE⊥平面PCD．
∴∠ACE即为直线AC与平面PCD所成的角．
不妨设AD=2．
则AE=
，AC=2
．
∴sin∠ACE=
=
．
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．
又∵CD⊥AD，PO∩AD=O，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
（2）由（1）可知：CD⊥AE．
∵E为正三角形PAD的边PD的中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）由（2）可知：AE⊥平面PCD．
∴∠ACE即为直线AC与平面PCD所成的角．
不妨设AD=2．
则AE=
| 3 |
| 2 |
∴sin∠ACE=
| AE |
| AC |
| ||
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