题目内容
(本小题满分12分)已知椭圆
,离心率为
的椭圆经过点
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
分别与椭圆交于
和
,是否存在常数
,使得
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.



(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线






(1)
(2)存在实数
,使得
.理由见解析



试题分析:(1)由题可知


由此得


将点



故椭圆方程是

(2)问题等价于


椭圆的焦点坐标是


当直线

设直线




代入椭圆方程并整理得

设


根据弦长公式,


=


以



所以

即

当直线


此时


综上所述,故存在实数


点评:圆锥曲线问题一般难度较大,要仔细分析,仔细运算,另外设直线方程时,要考虑到直线的斜率是否存在.

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