Question

20．设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1．
（Ⅰ）若c=4，求b的值；
（Ⅱ）当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，求b+$\frac{1}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）图象开口向上且在区间（2，3]上有最大值1，得f（3）=1，解出b；
（2）由f（3）=1可得bc之间的关系式和b的取值范围，然后讨论△与0的关系，结合当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立进一步确定b的范围，最后得到b+$\frac{1}{c}$的表达式，求出此表达式的值域即可．

解答 解：（I）c=4时，f（x）=）=x²+bx+4，
f（x）图象开口向上，对称轴为x=-$\frac{b}{2}$，
∵函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1，
f（3）=1，即5+b=1，解得b=-4．
（II）∵函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}≤\frac{5}{2}}\\{f（3）=1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{b≥-5}\\{9+3b+c=1}\end{array}\right.$，
∴c=-8-3b．
∴△=b²-4c=b²+12b+32=（b+6）²-4．
∵b≥-5，∴△≥-3．
①若△=0，即b=-4时，f（x）=0的解为x=-$\frac{b}{2}$=2，符合题意，
②若△＜0，即-5≤b＜-4时，f（x）＞0恒成立，符合题意，
③若△＞0，即b＞-4时，
∵当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-\frac{b}{2}＜2}\\{f（2）≥0}\\{f（-2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-\frac{b}{2}＜2}\\{4+2b-8-3b≥0}\\{4-2b-8-3b≥0}\end{array}\right.$，无解．
综上，-5≤b≤-4．
∴b+$\frac{1}{c}$=b-$\frac{1}{8+3b}$．
令g（b）=b-$\frac{1}{8+3b}$，则g′（b）=1+$\frac{3}{（8+3b）^{2}}$＞0，
∴g（b）在（-5，-4]上是增函数，
∵g（-5）=-$\frac{34}{7}$，g（-4）=-$\frac{15}{4}$，
∴b+$\frac{1}{c}$的取值范围是[-$\frac{34}{7}$，-$\frac{15}{4}$]．

点评 本题考查了二次不等式与二次函数的关系，确定b的范围是解题关键．