Question

3．已知：cotβ=$\sqrt{5}$，$\frac{sinα}{sinβ}$=sin（α+β），则cot（α+β）=$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 根据三角中的倍角公式和和差公式计算即可．

解答 解：∵$\frac{sinα}{sinβ}$=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
∴sinα=sinβsinαcosβ+cosαsin²β，
∴sinα（1-sinβcosβ）=cosα（$\frac{1-cos2β}{2}$），
∴sinα（1-$\frac{1}{2}$sin2β）=cosα（$\frac{1-cos2β}{2}$），
∴tanα=$\frac{2-sin2β}{1-cos2β}$，
∵cotβ=$\sqrt{5}$，
∴tanβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos2β=$\frac{1-ta{n}^{2}β}{1+ta{n}^{2}β}$=$\frac{2}{3}$，
sin2β=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴tanα=$\frac{1}{6-\sqrt{5}}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$，
∴cot（α+β）=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了三角形函数的化简和求值，关键掌握倍角公式，属于中档题．