题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
分别为线段
上的点,且
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)若与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成的锐二面角.
【答案】(1)证明见解析;(2)30°.
【解析】试题分析:
(1)由条件可得为直角三角形,且
.故由余弦定理可得
,所以
,从而
,又由条件可得
,故
平面
.(2)由
两两互相垂直可建立空间直角坐标系,结合条件可求得平面
的法向量和平面
的法向量,根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小.
试题解析:
(1)证明:连,由题意知
.
∴
在中,由余弦定理得
,
∴,
∴,
又因为,
∴
又
,
又,
,
∴平面
.
(2)由(1)知两两互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系
,
由与平面
所成的角为
,知
,
则
∴
因为
由(1)知
平面
,
∴平面
∴为平面
的一个法向量.
设平面的法向量为
,
则 ∴
,
令,则
,
∴为平面
的一个法向量.
∴
故平面与平面
的锐二面角的余弦值为
,
所以平面与平面
的锐二面角为
.

练习册系列答案
相关题目